Составим математическую модель задачи. Обозначим через xij искомый объем перевозки от поставщика I к потребителю j и будем рассматривать переменные xij, задающие план перевозок, как компоненты матрицы перевозок X размеров :
. (13)
Затраты, связанные с некоторой перевозкой xij, составляют величину cijxij, а общая стоимость перевозок z от всех поставщиков ко всем потребителям определится равенством:
. (14)
В соответствии с постановкой задачи план перевозок должен быть составлен так, чтобы вывоз от каждого поставщика равнялся его объему производства:
(15)
а общие поставки любому потребителю удовлетворяли его спрос:
(16)
Из физического смысла переменных следуют условия их неотрицательности
(17)
В итоге получаем формулировку транспортной задачи: найти значения переменных xij, удовлетворяющие условиям (15) – (17) и минимизирующие целевую функцию (14). Это каноническая задача линейного программирования. В ней число переменных равно mn, число ограничений-равенств – m+n.
Левые части уравнений (15) образованы строчными , а уравнений (16) – столбцовыми элементами матрицы перевозок (13). В соответствии с условиями (15) и (16) сумма элементов i-й строки матрицы Х должна быть равна ai, а сумма элементов j-го столбца – bj. В дальнейшем будем называть уравнения (15) строчными, (16) – столбцовыми.
Для проверки условий совместности системы (15), (16) проведем суммирование уравнений (15) по индексу I, а (16) – по j. Получаем равенства
; ,
левые части которых отличаются только порядком суммирования. Следовательно, они равны между собой. Тогда будут равны и правые части
(18)
Условие (18) является условием совместимости системы ограничений (15) – (16). Оно выражает требования баланса между суммарными запасами и суммарными потребностями.
Транспортную задачу, для которой выполняется условие баланса (18), называют закрытой задачей. Если же условие нарушено, то задача называется открытой. Здесь возможны два случая:
а) суммарные запасы превышают суммарный спрос;
б) суммарный спрос больше суммарных запасов.
В первом случае после удовлетворения спроса всех потребителей у некоторых поставщиков останется невывезенный продукт, во втором случае поставки для некоторых потребителей будут меньше их потребности.
При построении модели в первом случае для совместности условий строчные ограничения должны быть записаны как ограничения-неравенства, допускающие неполный вывоз имеющегося продукта. Модель примет вид
; (19)
;
;
Аналогично во втором случае неравенствами должны быть выражены столбцовые ограничения, допускающие неполное удовлетворение спроса.
Открытая модель легко сводится к эквивалентной ей закрытой модели. Так, в первом случае введем фиктивный потребитель с величиной спроса
Другое по теме:
Проектирование системы управления гидравлическими приводами машины
Назначение, работа и устройство машины ВПР – 02
Машина ВПР-02 предназначена для выправки пути в
продольном профиле, по уровню и в плане, уплотнения балластной призмы под
шпалами и около их торцов при работах по техническому обслуживанию пути и при
новом строительстве. Машин ...
Технологический процесс обработки шестерен из стали 12ХН3А
Для цементуемых изделий
применяют низкоуглеродистые (0,1–0,25% С) стали. После цементации, закалки и
низкого отпуска этих сталей цементованный слой должен иметь твердость HRС 58–62, а сердцевина HRC 20–40. Сердцевина
цементуемых сталей должна иметь высокие механические свойства, особенно
...
Проектирование предприятий автомобильного транспорта
Главной задачей автомобильного
транспорта является полное, качественное и своевременное удовлетворение потребностей
производства и населения в перевозках при минимальных затратах материальных и трудовых
ресурсов.
Трудовые и материальные затраты
на поддержание подвижного состава в ...